3차 베지어 커브 일반식 유도

혹자는 왜 하필이면 3차 베지어 커브이냐 ... 라고 궁금증을 가질 수도 있지만,
대부분의 폰트는 3차 이하의 베지어 커브들로 구성된다는 점,
3차 베지어 커브이면 원에 가까이 근사할 수 있다는 점 등이 그 이유일 것이다.
실제로 베지어 커브로는 완벽한 원을 만들 수 없다.

따지고 보면 1차 베지어 커브(사실은 직선)로도 원하는 모양을 만들 수 있긴 하다.
물론 이건 매우 비효율적이다. 어차피 픽셀로 표현되는 컴퓨터 나라에서 곡선이란 게 무의미 할 수도 있다.
아무튼 그건 그거고 ...

3차 베지어 커브의 일반식을 유도하기 위한 조건은 다음과 같다.
1. 컨트롤 포인트는 4개이다. (P₀, P₁, P₂ and P₃)
2. 곡선은 첫번째 포인트와 마지막 포인트를 지난다.
3. 곡선의 첫 지점에서의 기울기는 P₀ 과 P₁ 을 이은 직선의 기울기의 3배이다.
4. 곡선의 마지막 지점에서의 기울기는 P₂ 와 P₃ 을 이은 직선의 기울기의 3배이다.


위 사실에 근거하여,
3차 식을 다음과 같이 u에 대한 3차 식으로 두고,






이놈을 매트릭스로 표현하면,






즉,





그리고 미분한 식은 다음과 같다.





위 조건 1,2,3,4 를 적용하여 보면,











이 식에서

로 치환하면, 다음과 같다.




조건 1,2,3,4 로부터 유도된 식으로부터
를 구할 수 있고, 값은 다음과 같다.










라고 치환하면,

이렇게 되고,

고로, 다음을 통해서 b(u) 를 구할 수 있다.








이제 다 끝났다.


이었으므로, 다음과 같은 일반항이 도출된다.







references :
http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve
Interactive Computer Graphics 2nd Edition (Addison Wesley) p434-436

수식 편집 :
http://www.codecogs.com/


아놔 심플 ~ 수학 공식 쓰기 캐노가다 ㅜㅜ