3차 베지어 커브 일반식 유도

혹자는 왜 하필이면 3차 베지어 커브이냐 ... 라고 궁금증을 가질 수도 있지만,
대부분의 폰트는 3차 이하의 베지어 커브들로 구성된다는 점,
3차 베지어 커브이면 원에 가까이 근사할 수 있다는 점 등이 그 이유일 것이다.
실제로 베지어 커브로는 완벽한 원을 만들 수 없다.

따지고 보면 1차 베지어 커브(사실은 직선)로도 원하는 모양을 만들 수 있긴 하다.
물론 이건 매우 비효율적이다. 어차피 픽셀로 표현되는 컴퓨터 나라에서 곡선이란 게 무의미 할 수도 있다.
아무튼 그건 그거고 ...

3차 베지어 커브의 일반식을 유도하기 위한 조건은 다음과 같다.
1. 컨트롤 포인트는 4개이다. (P₀, P₁, P₂ and P₃)
2. 곡선은 첫번째 포인트와 마지막 포인트를 지난다.
3. 곡선의 첫 지점에서의 기울기는 P₀ 과 P₁ 을 이은 직선의 기울기의 3배이다.
4. 곡선의 마지막 지점에서의 기울기는 P₂ 와 P₃ 을 이은 직선의 기울기의 3배이다.


위 사실에 근거하여,
3차 식을 다음과 같이 u에 대한 3차 식으로 두고,






이놈을 매트릭스로 표현하면,






즉,





그리고 미분한 식은 다음과 같다.





위 조건 1,2,3,4 를 적용하여 보면,











이 식에서

로 치환하면, 다음과 같다.




조건 1,2,3,4 로부터 유도된 식으로부터
를 구할 수 있고, 값은 다음과 같다.










라고 치환하면,

이렇게 되고,

고로, 다음을 통해서 b(u) 를 구할 수 있다.








이제 다 끝났다.


이었으므로, 다음과 같은 일반항이 도출된다.







references :
http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve
Interactive Computer Graphics 2nd Edition (Addison Wesley) p434-436

수식 편집 :
http://www.codecogs.com/


아놔 심플 ~ 수학 공식 쓰기 캐노가다 ㅜㅜ

베지어 커브 (Bézier curve)

베지어 커브는 1962년 프랑스 엔지니어인 Pierre Bézier에 의해 만들어 졌는데,
이 커브는 그가 자동차 차체를 디자인 하기 위한 목적으로 사용한 커브였다.

이 커브는 몇 개의 조절점(Control points)들로 구성되며,
조절점들은 a parametric mathematical function에 의해 커브 모양을 결정한다.
커브의 차수는 "조절점의 개수-1"차로 결정되는데, 다음 공식에 의해
커브를 구성하는 점들의 위치가 결정된다

조절점 중 처음과 끝 점은 곡선을 지나가고, 나머지는 어느 곡선과 만나지 않는다.
곡선은 조절점으로 이루어진 다각형을 벗어나지 않는다.
조절점이 하나 뿐이면 그냥 점이다.
조절점이 두 개이면 직선이다.

조절점이 3 개인 경우는 다음과 같이 2차식이 된다.
B(t) = P₀ * ( 1 - t ) ² + P₁ * 2 * t ( 1 - t ) + P₂ t²

조절점이 4 개인 경우,
B(t) = P₀ * ( 1 - t )³ + P₁ * 3 * t * ( 1 - t )² + P₂ * 3 * t² * ( 1 - t ) + P₃ * t³


references
http://www.moshplant.com/direct-or/bezier/
http://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_blending_function
http://cagd.cs.byu.edu/~557/
 

FreeType 을 이용한 TrueType Font 파일 읽기

FreeType 다운로드
참조 : http://freetype.sourceforge.net/index2

혹시 파일을 받으려고 헤메다가 못 받으신 분은 ... -_-;;
여기서 받으세요. (FreeType 2.3.5)
http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=3157 


여기서는 비주얼 스튜디오 6.0 을 기준으로 만든 예제입니다.
물론 다른 버전을 사용하더라도 별 차이는 없습니다. : )
원본을 보시려면 다음을 참조하세요.
http://freetype.sourceforge.net/freetype2/docs/tutorial/step1.html




우선 freetype 라이브러리를 다운 받고 적당한 곳에 압축을 풀고, VS 실행.
라이브러리 세팅.

[Tools] > [Options ...] 를 선택하면 다음과 같은 다이얼로그가 뜬다. 여기서 세팅

[Directories] 탭을 선택하고 "Show directories for:" 항목에서 "Include files" 를 선택한 후
아까 압축을 풀었던 freetype 라이브러리의 경로를 추가한다. (include 디렉토리를 서택하면됨)
... freetype-2.3.5\include

마찬가지로
"Show directories for:" 항목에서 "Library files" 를 선택하고 objs 폴더 경로를 추가한다.
... freetype-2.3.5\objs


[Project] > [Settings ...] 를 선택하고

다음과 같이 ... freetype-2.3.5\objs 폴더에 있는 lib 파일의 이름을 추가한다.

드디어 세팅 끝 -_-;;


소스 파일에 다음과 같이 FreeType 헤더를 추가한다.


폰트를 로딩하는 함수는 다음과 같이 .

위와 같이 TrueType Font 파일의 경로와 로딩하려는 문자의 유니코드를 파라미터로 받아
함수를 실행하면 다음과 같이 face 에 데이터가 로딩된다.
(다음 예제는 굴림 폰트의 'a' 를 읽은 결과이다)

읽은 글자에 대한 베지어 커브 컨트롤 포인트 리스트는 다음을 보면 된다.

여기는 컨투어 개수와 컨트롤 포인트 리스트가 있다.
글자의 외곽선 정보 뿐만 아니라 비트맵 이미지도 읽을 수 있다.


각 데이터 형에 관한 자세한 내용은 FreeType 페이지를 참조하라.



베지어 커브를 그릴 수 있는 적절함 함수를 추가하여서 그림을 그려보면 대략 다음과 같이
예쁜 그림을 얻을 수 있다. 이건 직접 해 보셈 -_-;